Jugando con números enteros
Autor:Prof. Rubén Cortizo Voelker- Prof. Siboney Villalba Barreto-
Subsistema:Educación media
Lugar:Juan Lacaze, Colonia
Areas:Matemática - Informática.
Introducción
Recursos utilizados:-XO de los estudiantes y/o PC de Sala de Informática.
-Actividad Scratch 1.4 para XO y/o para Windows.
-Archivos precargados “introducción a suma de enteros.sb” y “carrera de enteros.sb” de nuestra autoría.
-Cuadernos y apuntes de Matemática de los estudiantes.
Objetivos
Objetivos de la fase 1:Reconocer las regularidades en el signo del resultado de la suma de dos enteros.
Reconocer la relación que existe entre el valor absoluto de los sumandos y del resultado.
Deducir las reglas para sumar números enteros.
Conocimientos Previos:
-Definición de números enteros.
-Definición de Valor Absoluto.
Objetivo de la Fase 2:
Ejercitar, a partir de una actividad lúdica, el procedimiento para sumar dos números enteros.
Conocimientos Previos: suma de números enteros.
Contenido
Operaciones con números enteros (Matemática) - Scratch (Informática)Desarrollo
La actividad consta de dos fases en las que se coordinan contenidos específicos de Matemática (Primer año: Unidad) y la actividad “Scratch” de las XO.FASE 1: Introducción a la Suma de enteros
-Se plantea el trabajo con el archivo “introducción a la suma.sb” en el aula, dejando que los alumnos experimenten con varios intentos sumando enteros.
El docente actúa como guía del trabajo dejando que el alumno pueda construir el conocimiento acerca de cómo se suman números enteros.
Se solicita a los alumnos que observen lo que sucede con el signo y con los valores absolutos cuando los dos sumandos son de igual signo y luego cuando son de distinto signo.
Como cierre de la actividad el docente de Matemática formalizará las reglas para sumar enteros a partir de las deducciones realizadas por los alumnos.
FASE 2: Jugando a la carrera de enteros - Se plantea el trabajo con el archivo “carrera de enteros.sb” en el aula, dejando que los alumnos jueguen en forma libre, sin preocuparnos si visualizan o no la programación en Scratch del archivo.
Evaluación del proyecto
Generar una tercera fase: Multiplicando enteros.- Se plantearía el trabajo con un archivo nuevo de Scratch, mediante el cual los alumnos programaran una actividad en la que se apliquen las reglas de la multiplicación, de manera que al ingresar dos números enteros, el programa muestre el resultado correcto. Se tomaría como ejemplo la programación utilizada en la actividad de la FASE 1, sin que esto limite la creatividad de los alumnos.
Cierre
Se trata de una forma sumamente motivadora de encarar el tema “Operaciones con números enteros”, utilizando la tecnología disponible.Incentiva el pensamiento lógico matemático de los estudiantes y posibilita el trabajo y el intercambio con sus pares. Se evalúa positivamente la experiencia tanto de parte de los docentes como de los estudiantes involucrados. (Se adjuntan fotografías de la aplicación de la actividad)
Porqué los números enteros?
PARA REFLEXIONAR
Observa los dados, se llaman números enteros, observa que tienen un signo, pueden ser positivos o negativos; o cero.
¿Porqué se idearon los números enteros?
¿Para qué usamos los números enteros?
¿En que situaciones requerimos de los números enteros?
Son interrogantes que debemos esclarecer en esta sección.
Observa los dados, se llaman números enteros, observa que tienen un signo, pueden ser positivos o negativos; o cero.
¿Porqué se idearon los números enteros?
¿Para qué usamos los números enteros?
¿En que situaciones requerimos de los números enteros?
Son interrogantes que debemos esclarecer en esta sección.
Los números enteros
El conjunto de los números enteros está formado por:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.
Operaciones con números enteros
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
|−a| = a
|a| = a
Suma de números enteros
1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.
3 + 5 = 8
(−3) + (−5) = − 8
2.
Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos
(al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del
número de mayor valor absoluto.
− 3 + 5 = 2
3 + (−5) = − 2
Propiedades de la suma de números enteros
1. Interna:
a + b 
3 + (−5)
2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
3. Conmutativa:
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. Elemento neutro:
a + 0 = a
(−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
−(−5) = 5
Resta de números enteros
La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
a - b = a + (-b)
7 − 5 = 2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros
1.Interna:
a − b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna:
a · b
2 · (−5)
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa:
a · b = b · a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
División de números enteros
La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = − 2
(−10) : 5 = − 2
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna:
(−2) : 6 
2. No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
6 : (−2) ≠ (−2) : 6
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
Propiedades
a0 = 1 ·
a1 = a
am · a n = am+n
(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
am : a n = am - n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8
(am)n = am · n
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
an · b n = (a · b) n
(−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216
an : b n = (a : b) n
(−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8
Potencias de exponente entero negativo
Ejercicios de potencias de números enteros
1
(−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561
2
(−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0=
(−3)3 · (−3) · (−3)2 · (−3)0 = (−3)6 = 729
3
(−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 = −3
4
3−2 · 3−4 · 34 = 3−2 = (1/3)2 = 1/9
5
52 : 53 = 5−1 = 1/5
6
5−2 : 53 = 5−5 = (1/5)5 = 1/3125
7
52 : 5−3 = 55 = 3125
8
5−2 : 5−3 = 5
9
(−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 =
(−3)1 · (−3)6· (−3)− = (−3)3
10
[(−3)6 : (−3)3]3 · (−3)0 · (−3)−4 =
[(−3)3]3 · (−3)0· (−3)−4 =
(−3)9 · (−3)0 · (−3)−4 = (−3)5 = −243
Operaciones combinadas con números enteros
Prioridades en las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.
Ejercicios de operaciones combinadas de números enteros
14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 23 : 2) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) =
Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.
14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =
Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.
14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =
14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =
La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:
Si el paréntesis va precedido del signo + , se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga.
Si el paréntesis va precedido del signo − , al suprimir el paréntesis hay que cambiar de signo a todo los términos que contenga.
14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6
Realizar las siguientes operaciones con números enteros
1
(3 − 8) + [5 − (−2)] = − 5 + (5 + 2)= − 5 + 7= 2
2
5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
= 5 − [6 − 2 − (−7) − 3 + 6] + 5 =
= 5 − [6 − 2 + 7 − 3 + 6] + 5 =
= 5 − 14 + 5 = −4
3
9 : [6 : (− 2)] = 9 : (− 3) = −3
4
[(− 2)5 − (− 3)3]2 =
= [− 32 − (− 27)] = (−32 + 27)2 =
= (−5)2 = 25
5
(5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)2 =
= (5 + 6 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)2 =
= (5 + 1 − 4 ) · (2 − 3 + 6) : (7 − 4 − 2)2 =
= 2 · 5 : 12 =
= 2 · 5 : 1 = 10 : 1 = 10
6
[(17 − 15)3 + (7 − 12)2] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =
= [(2)3 + (−5)2] : [(−1) · (−11)] =
= (8 + 25) : [(−1) · (−11)] =
= (8 + 25) : 11 =
= 33: 11 = 3
7
(7 − 2 + 4) − (2 − 5) = 9 − (−3) = 9 + 3 =12
8
1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] =
= 1 − (4) − [5 − (4) − 2] =
= 1 − (4) − (5 − 4 − 2)=
= 1 − (4) − (−1) =
= 1 − 4 + 1 = −2
9
− 12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =
= − 12 · 3 + 18 : (− 12 : 6 + 8) =
− 12 · 3 + 18 : (−2 + 8) =
= −12 · 3 + 18 : 6 =
= −36 + 3 = −33
10
2 · [( −12 + 36) : 6 + (8 − 5) : (−3)] − 6 =
= 2 · [24 : 6 +3 : (−3)] − 6 =
= 2 · [ 4 + (−1)] − 6 =
2 · 3 − 6 = 6 − 6 = 0
11
[(−2)5 · (−3)2] : (−2)2 =
(−32 · 9) : 4 = −288 : 4 = −72
126 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =
= 6 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =
6 + [4 − (17 − 16) + 3] − 5 =
= 6 + (4 − 1 + 3) − 5 =
6 + 6 − 5 = 7
Ejercicios y problemas resueltos de números enteros
Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre operatoria en Números Enteros y Números Racionales. También deben conocerse las propiedades de las potencias.
Los ejercicios deben desarrollarse de acuerdo a las operatorias que se realicen. Se pueden restar o sumar términos semejantes, multiplicar expresiones algebraicas o bien simplificarlas.
Símbolos y términos específicos
Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan las diversas operaciones aritméticas.Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables.
Operaciones y agrupación de símbolos
La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en los símbolos o signos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico.Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces, como en el siguiente ejemplo:
En el caso de la multiplicación, el signo ‘×’ normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a·b. Un grupo de símbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c.
La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones.
Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente.
Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo mismo que b/c, mientras que (ax + b)/(c – dy) representa la fracción:
Prioridad de las operaciones
Cada expresión algebráica (y matemática) posee una estructura estrictamente jerarquizada.Esto significa que para resolver una expresión algebraica es necesario seguir un orden establecido con el fin de garantizar que los cálculos tengan sólo un resultado.
Ese orden es el siguiente:
1) Cuando no hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) hacemos primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios números positivos y negativos los agrupamos y después los sumamos.
2) Si hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se realizan en primer lugar todas las operaciones que se encuentren dentro de ellos, respetando la secuencia general.
Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno.
Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los quitamos aplicando la regla de los signos. Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos (recuerden que la regla de los signos se aplica solo para multiplicaciones y divisiones).
3) Luego se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces (potencias y raíces tienen la misma jerarquía)
4) En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones (multiplicaciones y divisiones tienen la misma jerarquía)
5) Finalmente se realizan las sumas y las restas (sumas y restas tienen la misma jerarquía)
Cuando un conjunto de operaciones se encuentran en el mismo nivel de prioridad o jerarquía, las operaciones se realizan desde la izquierda hacia la derecha.
Por ejemplo:
http://ticvictoriaalba.blogspot.com/2011/01/secundaria-algebra.html
Un importante error conceptual relacionado con el significado del signo igual
Es común que muchos estudiantes consideren el signo = solo como una invitación al cálculo y no como una relación de equivalencia.
Así, por ejemplo, interpretan la expresión
5 + 8 = x + 3
en términos similares a los siguientes: “A 5 se le suma 8 y al resultado (x) se le suma 3”.
Por tal razón, consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresión debería completarse así:
5 + 8 = x + 3 = 16
Como dijimos, este es un error muy común. Es importante, en este sentido, hacer notar desde un comienzo que el signo igual indica que todo los que está a la izquierda del signo igual (en este caso, 5 + 8) representa la misma cantidad que lo que está a su derecha (en este caso, x + 3). Para que ello se cumpla, x debe valer 10.
Gran parte de las dificultades que encuentran los estudiantes tienen su origen en este error conceptual.
Números Reales
Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica.Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0).
Podemos verlo en esta tabla:
Existen dos maneras para hacerlo:
1) como decimales finitos
2) como decimales que se repiten infinitamente
Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales finales ni decimales que se repiten infinitamente.
Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica.
En aritmética, los números usados son sólo del conjunto de los números racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números complejos.
Repitiendo el concepto, el conjunto de todos los números racionales e irracionales constituye el conjunto de los números reales.
Propiedades de los números reales
Propiedades de la adiciónLa suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro número real que se escribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números reales el resultado es otro número real.
Propiedad Asociativa de la adición:
Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c).
También
Es la llamada propiedad
asociativa de la adición.Un ejemplo aritmético: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
Elemento neutro de la adición
Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elemento neutro de la adición,
tal que a + 0 = 0 + a = a.
Elemento simétrico de la adición
Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento simétrico de a (o elemento recíproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.
Propiedad Conmutativa de la adición
Cualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma es siempre la misma: a + b = b + a.
También
Es la llamada propiedad conmutativa de la
adición.Un ejemplo aritmético: 4 + 2 = 2 + 4
Propiedades de la multiplicación
Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo, en la multiplicación hay que prestar especial atención al elemento neutro y al elemento recíproco o inverso.El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a·b o ab.
Propiedad Asociativa de la multiplicación
Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc).
También
Es la llamada propiedad asociativa de la
multiplicación.Un ejemplo aritmético:
Elemento neutro
Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación,
tal que a(1) = 1(a) = a.
Elemento recíproco o inverso
Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (a–1 o 1/a), llamado elemento inverso (o elemento recíproco de la multiplicación), para el que a(a–1) = (a–1)a = 1.
Propiedad Conmutativa de la multiplicación
Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es siempre el mismo: ab = ba.
También
Es la llamada propiedad conmutativa de la
multiplicación.Un ejemplo aritmético:
Propiedad distributiva de multiplicación sobre adición:
Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la multiplicación de la forma siguiente:
a(b + c) = ab + ac también (b + c)a = ba + ca
También
Un ejemplo aritmético:
Regla de los Signos para sumar y restar:
1. En una suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 + 8 = 13
5 + –8 = –3
2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.
Ejemplo:
5 – 8 = –3
5 – (–8) = 13
Regla de los signos en la multiplicación y la división
En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son de signos opuestos, el resultado es negativo.
Ejemplos:
5 x 8 = 40 5 x –8 = –40
Multiplicación de polinomios
El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:
(ax + b) (cx2) = acx3 + bcx2
Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del segundo— se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier número de términos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera:
(ax3 + bx2 – cx) (dx + e) = adx4 +aex3 + bdx3 + bex2 – cdx2 - cex
Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han de agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresión:
= adx4 + (ae + bd)x3 + (be – cd) x2 – cex
Recta Numérica
Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica.El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.
· Si a – b es positivo, entonces a > b.
· Si b – a es positivo, entonces a < b.
Valor Absoluto
La distancia de un número en la recta numérica desde cero (0) se llama valor absoluto. Se representa con el símbolo |x|. El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera:
· si el número es negativo, lo convertimos a positivo.
· si el número es cero o positivo, se queda igual.
Ejemplos:
|7| = 7
|–7| = 7
Notación Exponencial
La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la elevación a la enésima potencia (n) de una base (X).
Ejemplos:
x2 = x · x
22 = 2 · 2
34 = 3 · 3 · 3 · 3
Término algebraico
Término algebraico es el producto de una o más variables y una constante numérica o literal.
Ej:
7xy3
–2mnp2
π r2
En todo término algebraico hay:
Signo: positivo o negativo
Coeficiente numérico: es el número que va al comienzo del término algebraico
Factor literal: son las letras y sus exponentes
Grado: corresponde al mayor exponente dentro de los términos
Término algebraico
|
Signo
|
Coeficiente numérico
|
Factor literal
|
Grado
|
2m2n5
|
Positivo
|
2
|
m2n5
|
5
|
5 a3b6c8
|
Positivo
|
5
|
a3b6c8
|
8
|
- 1/3 zhk5
|
Negativo
|
1/3
|
zhk5
|
5
|
Expresiones Algebraicas
Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos.
Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.
monomio = un solo término.
Por ejemplo: 3x2
binomio = suma o resta de dos monomios.
Por ejemplo: 3x2 + 2x
trinomio = suma o resta de tres monomios.
Por ejemplo: 3x2 + 2x – 5
polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios.
Monomio
|
Binomio
|
Trinomio
|
Polinomio
|
8 x3y4
|
3 a2b3 + 8z
|
a – b9 +
a3b6
|
2/3 a2 +
bc + a2b4c6– 2
|
x2
|
z5 +32
x3
|
9a – b2 +
c3
|
ab – a6b3c + 8 – 26a
|
Reglas de los Exponentes:
· Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes.
Ejemplo: x2 . x4 = x2+4 = x6
· Para multiplicar
factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda
igual.
Ejemplo: (x2)4 = x2+4 = x6
· En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos, m > n.
Ejemplo: (xy)2 = x2 y2
· En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numérico.
Productos Notables
1.
Por ejemplo:
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Expresiones fraccionales
Una fracción es una expresión en la forma:
Una expresión fraccional esta simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
Por ejemplo:
Multiplicación de expresiones algebraicas
Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores.
Por ejemplo:
División de expresiones algebraicas
Para dividir se multiplica por el recíproco y luego se factoriza y se simplifica el resultado.
Por ejemplo:
Suma y resta de expresiones algebraicas
En suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
Por ejemplo:
Exponentes enteros
Reglas básicas para trabajar los exponentes:
Regla:
|
Ejemplo:
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Radicales (Raíces)
Un radical es una expresión en la forma:
que se lee "raíz n de b" Cada parte de un radical lleva su nombre,
El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente omitido.
Propiedades de los Radicales (de las raíces)
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Suma y Resta de Radicales (de raíces)
Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver la suma o la resta usando la propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes. Los radicales "semejantes" son los que tienen el mismo radicando.
Ejemplos:
Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta sólo puede ser indicada. Se puede agrupar los términos semejantes del radical.
Ejemplo:
http://www.proyectosalonhogar.com/Enciclopedia_Ilustrada/Matematicas/Algebra_basica.html
http://isis.nmsu.edu/~breakingaway/notas/algebra.html
http://www.educlas.cl/Matematicas/Introduccion%20al%20Algebra.pdf
http://www.geocities.ws/informal8m/Algebra.htm
http://www.vadenumeros.es/tercero/ejercicios-con-parentesis.htm
http://www.educarchile.cl/UserFiles/P0032/File/pdf_esencial/6toBasico/matematica/6_anio_hojas_profesor_U06.pdf
Definición de Números Enteros
El número
es un signo que facilita la expresión de una cantidad con relación a la
unidad que representa, en tanto, existen diversas clasificaciones que
darán lugar a conjuntos diferentes tales como los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6), los números racionales, los números decimales, entre otros.Dentro de los números enteros se incluye a los números naturales, aquellos que empleamos para contar los elementos de un conjunto, al cero y a los números negativos, que son los que resultan de restarle un número natural uno mayor, o sea 4 – 5 = -1. Por tanto, los números enteros serán únicamente aquellos que no tengan una parte decimal, 4,3 no es un número entero sino un número decimal.
Cabe destacar que a los números enteros los obtenemos de operaciones básicas como la suma y la resta y
ya desde la antigüedad era usual su empleo; hay registros que datan del
siglo VI cuando matemáticos de la India hablaban de ellos y los
empleaban.
A los números enteros negativos se los suele emplear en situaciones prácticas y muy concretas como ser: la expresión de una temperatura bajo cero, o sea que es muy fría. En estos momentos en la Antártida están haciendo – 6 grados. Y también los usamos para referir a una profundidad bajo el nivel del mar. El barco hundido fue encontrado a -123 metros.
La importancia de este tipo de números está asociada a su capacidad para representar unidades no divisibles tales como una persona o país, es decir, no es correcto expresar que a la reunión asistieron 4,7 personas. En cambio los números decimales sí pueden indicar unidades divisibles.
A los números enteros negativos se los suele emplear en situaciones prácticas y muy concretas como ser: la expresión de una temperatura bajo cero, o sea que es muy fría. En estos momentos en la Antártida están haciendo – 6 grados. Y también los usamos para referir a una profundidad bajo el nivel del mar. El barco hundido fue encontrado a -123 metros.
La importancia de este tipo de números está asociada a su capacidad para representar unidades no divisibles tales como una persona o país, es decir, no es correcto expresar que a la reunión asistieron 4,7 personas. En cambio los números decimales sí pueden indicar unidades divisibles.
Desde Definicion ABC: http://www.definicionabc.com/general/numeros-enteros.php#ixzz2M0pFymtP
. 4 LOS NÚMEROS ENTEROS
Publicado noviembre 2, 2007 3 Matemáticas Cerrado
En esta cuarta unidad tienes que aprender que son los números enteros, su representación en la recta numérica así como la noción de coordenadas cartesianas. Para ello tienes a continuación varios programas, que de forma entretenida y amena, te ayudarán.
44 NÚMEROS NATURALES. 45 NÚMEROS ENTEROS. 46 NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS. 47NÚMEROS ENTEROS NEGATIVOS. 48 SUMA DE NÚMEROS ENTEROS. 49 RESTA DE NÚMEROS ENTEROS. 50 COORDENADAS CARTESIANAS. 51 EJES DE COORDENADAS 52 ORIGEN DE COORDENADAS. 53 EJE DE ORDENADAS. 54 EJE DE ABSCISAS.
Practica con este programa interesante de Genmagic.
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Practica y aprende las coordenadas en el plano con este otro programa, también de Genmagic. EXAMEN DE LA UNIDAD 4
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RINCÓN DE LA POESÍA.
Vocabulario del poema:
45 BRAVÍO. 46 VIRAR. 47 “A TODO TRAPO”
Vocabulario de la lectura:
48 ALMANAQUE
Nociones:
49 NUMERALES. 50 INDEFINIDOS. 51 PREFIJOS DE SITUACIÓN. 52 GÉNEROS LITERARIOS. 53 CLASES DE GÉNEROS LITERARIOS. 54 NARRATIVA. 55 LÍRICA. 56 TEATRO. 57 ELEMENTOS DE LA NARRATIVA. 58 NARRADOR. 59 PERSONAJES. 60 ACCIÓN. 61 MARCO NARRATIVO. 62 FORMAS NARRATIVAS. 63 CUENTO. 64 NOVELA. 65 LEYENDA.
66 CONFLUIR. 67 TRAMA. 68 FABULAR. 69 RESEÑA.
ORTOGRAFÍA INTERACTIVA.
Vocabulario del poema:
45 BRAVÍO. 46 VIRAR. 47 “A TODO TRAPO”
Vocabulario de la lectura:
48 ALMANAQUE
Nociones:
49 NUMERALES. 50 INDEFINIDOS. 51 PREFIJOS DE SITUACIÓN. 52 GÉNEROS LITERARIOS. 53 CLASES DE GÉNEROS LITERARIOS. 54 NARRATIVA. 55 LÍRICA. 56 TEATRO. 57 ELEMENTOS DE LA NARRATIVA. 58 NARRADOR. 59 PERSONAJES. 60 ACCIÓN. 61 MARCO NARRATIVO. 62 FORMAS NARRATIVAS. 63 CUENTO. 64 NOVELA. 65 LEYENDA.
66 CONFLUIR. 67 TRAMA. 68 FABULAR. 69 RESEÑA.
ORTOGRAFÍA INTERACTIVA.
En esta unidad tienes que
aprender los conceptos numerados del 206 al 243, así como la idea global
del tema concentrada en los esquemas: Las máquinas,
las herramientas y los avances tecnológicos, que puedes estudiar de
forma pasiva pulsando en los esquemas. También puedes imprimirlos en los
enlaces pdf.
En los números con enlace hay
imágenes que te ayudarán a comprender el concepto y en las palabras con
enlace, programas interactivos con ese mismo fin. Mira esta lista de inventos y la fecha en que se produjo.
***
Mira cómo se trasmire el movimiento en esta série de engranajes.
***
206 MÁQUINAS. 207 MÁQUINAS SIMPLES. 208 MÁQUINAS COMPUESTAS. 209 TIPOS DE MÁQUINAS SIMPLES. 210 LA PALANCA. 211 TIPOS DE PALANCA. 212 PALANCA DE PRIMER GRADO. 213 PALANCA DE SEGUNDO GRADO. 214 PALANCA DE TERCER GRADO. 215 PLANO INCLINADO. 216 POLEA 217 TORNO. 218 ELEMENTOS DE LAS MÁQUINAS COMPUESTAS. 219 ENGRANAJE. 220 CADENA.ESTUDIO PASIVO: Pincha en el esquema.
***
ESTUDIO PASIVO: Pincha en el esquema.
221 HERRAMIENTAS. 222 HERAAMIENTAS MANUALES. 223 HERRAMIENTAS MECÁNICAS. 224 TALADRO.
***
U. 5-3 AVANCES TECNOLÓGICOS. 5.3 Avances tecnológicos esquema pdf.225 ABONOS ARTIFICIALES. 226 ANTIBIÓTICOS. 227 VACUNAS. 228 TRANSPLANTE DE ÓRGANOS. 229 GENOMA. 230 TELEFONÍA. 231 RADIO. 232 TELEVISIÓN. 233 RADAR. 234 SATÉLITE ARTIFICIAL. 235 ORDENADOR. 236 PROCESADOR. 237 DISCO DURO. 238 LECTOR-GRABADOR DE CD/DVD. 239 TECLADO. 240 RATÓN. 241 PANTALLA. 242 IMPRESORA. 243 ALTAVOCES.
ESTUDIO PASIVO: Pincha en el esquema.
***
VÍDEO SOBRE EL ORDENADOR.
En esta unidad tienes que aprender los
conceptos numerados del 187 al 205, así como la idea global del tema
concentrada en los esquemas de la luz y el sonido que puedes estudiar de
forma pasiva pulsando sobre los esquemas. Y si quieres imprimirlos
pulsa en los enlaces pdf. Pulsando también en los números que tienen
enlace obtienes una imagen del concepto y las palabres con enlace te
llevan a un programa que te lo explica.
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187 LA LUZ.. 188 LA LUZ.NATURAL. 189 LA LUZ. ARTIFICIAL. 190 TRANSPARENTE. 191 TRANSLÚCIDO. 192 OPACO. 193 REFLEXIÓN DE LA LUZ 194 .REFRACCIÓN DE LA LUZ 195 COLORES DE LA LUZ. ESTUDIO PASIVO: Pincha en el esquema.
U. 4-2 EL SONIDO. 196 SONIDO. 197 ECO. 198 SONAR. 199 TONO. 200 TONO AGUDO. 201 TONO GRAVE. 202 TIMBRE. 203 INTENSIDAD. 204 DECIBELIO. 205 RUIDO.
ESTUDIO PASIVO: Pincha en el esquema.
